数学漫步_02,用对称性对付病毒

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我们会试着用绘画作品中的平面二维生物的视角,向大家解释所熟知的三维空间,假设这个世界中有很多二维世界的蜥蜴,而其中有只二维蜥蜴强行从纸上逃出,并在其它物体的顶端,凝视先前平面物体的存在,那它应该用什么方法,来向其它的二维蜥蜴来描述三维物体呢?

一些拥有对称性结构的常见病毒,体积按比例绘制(图片:Molecluar Machines)

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(文 / 伊恩 ·
斯图尔特)病毒——人类和动植物大部分疾病的起源——的结构,也可以用数学来解释。病毒比多数的生物分子大,却是细菌的
100 万分之一。病毒的数量庞大(是人类的 10250
倍),种类繁多(已知的病毒种类已经超过 5000
种,总数可能超过百万)。病毒的遗传物质包裹在蛋白质里面,每种病毒都有一种特定的结构,大部分是十二面体的或者螺旋形的:就像足球形状或者螺旋楼梯。

二维蜥蜴

了解病毒结构能够为疾病治疗提供新方法,这就要用到主要的数学工具之一——几何,但也有一个难点:需要在多维空间中计算。经典的欧几里得几何学,描述的是二维(平面)和三维(空间)。分析病毒的形状需要用到一个我们不熟悉的概念:
六维空间几何学 。不是指病毒来自 “六维空间”
,而是六维数学能更好地了解三维空间中的病毒,因为病毒复杂的三维形状,就可以成为六维空间中的缩影,或者其中的一片,并且变得更简单易懂。

a. 横切面法

要知道什么是六维空间几何学,还得先从三维空间说起。

我们让一些三维物体穿过这群平面生物的世界,例如,一个四面体正在穿过画满蜥蜴的平面,这些平面蜥蜴只能看见一个绿色的三角形突然出现,然后逐渐变小

经典欧式(欧几里得)几何学确定了 5
个正多面体:正方体、正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。正方体的面是四边形,十二面体的面是五边形,其他
3 个图形的面是三角形。

因为它们的视觉存在局限,看不到平面以外的任何东西,如果让平面蜥蜴们通过这些出现在平面上的横切面,来猜测物体的形状,应该是极其困难的

欧式正二十面体很漂亮,却在 2000
多年的时间里缺乏实际应用。其实,二十面体正好是病毒的最佳形状。为什么会这样呢?一部分原因来自能量。病毒的外衣一般都是由单个蛋白质分子的多次复制组合而成,并且每个病毒的外衣都不一样。当这些分子尽可能聚合成接近球体时,将具有一些低能量。病毒的糖衣蛋白不能形成精确的球形(就像把
100
个网球放在一起,也不能使它变成一个光滑的球体一样),但是病毒在努力接近球形。在欧式正多面体中,正二十面体是最接近球形的,只要将角切掉,它就是一个球了,因此国际正规赛事中用的足球,大部分是正二十面体组成的。

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三维物体的横切面

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下面是不展示线框,只展示截面的情形,因为只能看到截面,很不直观,这些二维蜥蜴们,只有发展处优秀的几何直觉,才能很优秀的了解我们三维空间里的事物,而我们在了解四维空间时,也会遇见同样的困难

美国建筑家巴克明斯特·富勒(Buckminster
Fuller)的设计专利图纸。从左边的设计图上,我们可以想见,正二十面体(面是三角形)和正十二面体(面是五边形),是如何构成球体的。右边的设计图,是不是让你想起了足球的形状呢?(图片:inventors.about.com)

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二十面体

太阳娱乐登录,病毒的二十面体糖衣蛋白是由 20
个三角形组成,每个三角形都是蛋白质单元的排列,就像最初的斯洛克台球一样。在
1962 年,生物学家唐纳德·卡斯帕(Donald Caspar)和阿隆·卡兰格(Aaron
Klug)意识到,他们在建筑师巴克明斯特·富勒(Buckminster
Fuller)的建筑作品中,看到过这样的排列。

b. 正交投影与透视投影法

富勒因 “网格状球顶”
而著名,这种球顶由大量的三角面板组合在一起,结构近似球形。卡斯帕和兰格发现,大多数的病毒也有类似富勒球顶的几何结构,形成
“伪二十面体” 。称为 “伪”,是因为这 20
个三角形的每个面,都被细分为了更小的三角形。

正交投影或者透视投影,也是从三维到二维的一种常见的方法,大致上是相当于我们把三维物体画到二维画质上面的过程,但我们之所以能看出立体感,是因为我们见过三维物体,具有三维直觉,但二维平面中的蜥蜴,他们看到的是一堆框线来回挤压变化,确实,比起横截面法,可能会直观一些,但用这种方法,原来多面体的表面会在这样的投影中彼此重叠,对于全面了解多面体的形状并不算太直观

几何学能够预言形成病毒表面蛋白质单元的个数的一些特殊情况,比如
32,42,72,92,162,252 和
362。这与病毒的真实情况非常吻合,比如传染性犬肝炎病毒的蛋白质结构有 362
个单元、人瘤病毒蛋白有 72
个单元。这两种病毒的结构都类似网格球顶。然而,在卡斯帕-克鲁格理论(Caspar-Klug)中也有例外的情况,比如导致类人猿或者人类患肿瘤的猿猴空泡病毒。

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正交投影

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c. 球极投影

美国建筑家巴克明斯特·富勒及其标志性作品,网格状球顶(图片:CSU
ARCHV/EVERETT/REX FEATURES)

首先让四面体膨胀起来,让它的顶点和棱处在一个球面中,需要注意的是,它的点与点,棱与棱,面与面之间的关系并没有变化,因为球极投影是“保形”的,只是原来的一些直线变成了弧线,平面变成了曲面

 

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10 年前,德国数学家雷登·特瓦克(Reidun
Twarock)提出建议,发展更一般的、基于正二十面体对称性的病毒几何学理论。与欧式几何不同的是,她研究的不是三维空间,而是六维空间。这并不像听起来的那么复杂,因为这里的
“维度” 广义上所指的是 “方程中的变量”
。试想一下太阳系:如果你想指出地球的位置,你需要知道它处在三维空间的坐标(这就需要
3 个变量),还需要知道它在太空中的移动速度(又需要 3 个变量),总共需要
6 个变量。如果你要指出太阳的位置,则又需要另外 6
个变量。对于月亮也是如此。

膨胀的四面体

于此而言,数学知识表明,我们在研究运动时需要采用十八维空间。在任意条件下,物体的实际构型是三维的,三维空间是十八维空间的一个“缩影”。我们通常将三维问题转化为二维问题考虑,比如把三维的树画到二维的纸上。同理可将六维或者十八维变量,转化到三维空间中,只是多了几个变量而已。

我们给膨胀到球形的“正四面体”每个面涂上颜色,之后,用我们之前学过的球极投影把它投影到蜥蜴的平面,这样,就能方便二维的蜥蜴们观赏了

特瓦克就是运用这种思想,把病毒的 3D
结构想象成了更高维度结构的简单缩影。举个例子,你用大量的立方体堆成一个
3D
的棋盘,用特定的方式切开它,就能得到一个美丽的瓷砖图案。仰视这个切面,可以发现都是三角形和六角形。原来的堆积物只有一个形状,就是立方体结构,但是在切面处却出现了两个不同的形状。换言之,就像分别从前面、侧面观察一只猫。在二维空间中,观察到的形状是截然不同的。但是在三维空间中观察真实的猫,才发现原来是不同部位的形状在起着作用。

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四面体的球面投影

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同样的原理,我们把其他多面体的球极投影出现在平面上

病毒结构模型的演化,从沃森-克里克,到卡斯帕-克鲁格理论,最终到特瓦克模型(图片:plus.maths.org)

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立方体

特瓦克用了相似的巧妙方法,来研究二十面体病毒的蛋白质单元。科学地讲,二十面体是高度对称的:有
120
种方法去旋转或者反射使其保持不变。如果这些单元的排列来自于一个更高维度空间的模型,那么这个模型就相应地有
120 个相同对称面。

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关于处理这种问题的方法,存在一个成熟的数学分支,称为群论。它列出了六维空间中特殊模型清单。群论发展了卡斯帕-克鲁格理论,它可以解释猿猴空泡病毒和其他病毒的特殊结构,且具有潜在应用:阻止病毒扩散的方法之一,便是干扰病毒的形成——了解一个完整病毒的几何结构,可以揭示出该病毒在形成过程中至关重要的薄弱环节。

八面体

此外,二十面体病毒有时候会改变形状,成为不具有传染性的立方体。所以把病毒的二十面体形状变成立方体形状,或许就可以干扰病毒的复制,进而预防疾病。如果科学家可以重编病毒使蛋白单元管状排列,或许会消灭病毒的危害性。

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(接下来在生物数学系列的第三篇中,我们将介绍浮游生物悖论,还有想象中的那头球形奶牛~)

十二面体

 

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生物数学系列

  • 用数学预测斑马条纹
  • 生物数学中有头“球形奶牛”

 

 

编译说明:  

编译自《新政治家》 2011 年 4 月 27 日文章: The formula of life

作者伊恩 · 斯图尔特(Ian Stewart)是华威大学(University of
Warwick)数学教授,该文摘自其新书《生命中的数学》。

文章题图: pretty-pix.blogspot.com
内文图片:
[1] Molecluar Machines,via vir.gla.ac.uk;
[2] inventors.about.com;
[3] CSU ARCHV/EVERETT/REX FEATURES,via m.sciencegallery.com;
[4] plus.maths.org.

 

二十面体

那这些二维蜥蜴们要如何通过这些投影的形状来辨认多面体呢?其实我们可以看到,四面体拥有
4 个面,6 条棱和 4 个顶点,而拥有 6 个面,每个面有 4
条棱的就是立方体了,以此类推,就算生活在二维世界,通过这种方法,我们也就能分辨出十二面体和二十面体的差别了,而这种方法,比横切面法和正交与透视投影法都要更能整体直观感受到三维物体的表面,因为在这种情况下,这些表面不会重叠在一起

现在,我们要为四维空间做好准备

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